8.1 Análisis de datos de variación continua

$Y\left(s\right)$ es un vector aleatorio en una ubicación $s\in R^r$ donde $s$ varía de manera continua sobre el dominio $D\subset R^r$ (usualmente r= 2).

Si consideramos un número finito de ubicaciones $\{s_1,...,s_n\}\in D$ entonces $\left(Y\right(s_1),...,Y(s_n\left)\right)$ es un vector aleatorio de dimensión $n$ cuya distribución debe reflejar la dependencia espacial entre las variables. Si observamos datos $y_1,...,y_n$ en las ubicaciones $s_1,...,s_n$ entonces $y_1,...,y_n$ es una realización del vector aleatorio $\left(Y\right(s_1),...,Y(s_n\left)\right)$.

Ahora, para especificar la distribución del proceso espacial utilizaremos las distribuciones finito dimensionales: $$p_{s_1,...,s_n}(y_1,...,y_n)$$ para toda $n\ge 1$ y para todo $s_1,...,s_n\in D$.

Las distribuciones finito-dimensionales definen una distribución válida sobre el proceso estocástico espacial $\left\{Y\right(s):s\in D\}$ si satisfacen las siguientes condiciones (compatibilidad de Kolmogorov):

• Son invariantes ante permutaciones.

• Son consistentes bajo marginalización.

Un ejemplo de un proceso espacial que satisface las propiedades anteriores es el proceso Gaussiano.

$\left\{Y\right(s):s\in D\}$ es un proceso Gaussiano si para toda $n\ge 1$ y $s_1,...,s_n\in D$ la distribución de $\left(Y\right(s_1),...,Y(s_n\left)\right)$ es normal multivariada.

Para especificar un proceso Gausiano sólo hace falta especificar las medias y las matrices de covarianza para las distribuciones finito dimensionales. Más aún en el caso del proceso Gaussiano la condición de consistencia de Kolmogorov se reduce a que la matriz de covarianzas sea semidefinida positiva.

En general para especificar un proceso espacial $Y\left(s\right)$ lo descomponemos en dos partes (primera ley de la geoestadística):

$$Y\left(s\right)=\mu \left(s\right)+\eta \left(s\right)$$

donde

• $\mu \left(s\right)$ es la media de $Y\left(s\right)$. Es una función determinística de $s$ y se le llama la tendencia espacial. Explica la variación a gran escala en el proceso espacial $Y\left(s\right)$.

• $\eta \left(s\right)$ explica la varianza a pequeña escala del proceso $Y\left(s\right)$. Tiene media cero en cada $s$ y explica la dependencia espacial en $Y\left(s\right)$ a través de la función de covarianza.